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“数位”的秘密:探索两位数的组成——小学低年级数学学习探索研究

作者

摘要

本文以小学低年级学生认知特点为基础,设计并实施了以“两位数组成”为核心的探究性学习活动。通过“实物操作-模型构建-符号抽象”三层递进式学习路径,引导学生深度理解数位概念与十进制原理。研究采用课堂观察、学生作品分析、访谈等方法,证实了具身认知活动在建立位值制观念中的有效性。结果显示,学生在分解组合、比较分析等活动中,不仅掌握了两位数读写的数学技能,更初步形成了结构化思维能力和数学语言表达能力,为后续多位数运算奠定了坚实的认知基础。 1计数单位等分模型(磁扣替换小棒)是突破除法竖式认知瓶颈的关键; 2点子图的多维拆分为乘法分配律提供直观原型; 3冲突性问题链(如“余1个十怎么办?”)有效激活深度思考。 本实践验证了北师大版教材“从具象分物到计数单位操作”路径的科学性,为位值制教学提供可复制的范式。

1 引言:北师大版教材中数位概念的教学定位

1.1 教材编排分析

北师大版教材将数位概念贯穿于整个低年段:

一年级:通过“生活中的数”(数豆子、动物餐厅)建立百以内数的直观模型,强调数的分解(如34=30+4);

二年级:学习表内除法时初步接触竖式,但限于一层记录(如18÷3)[1],聚焦“物的等分”;

三年级:在“蚂蚁做操”(乘)、“队列表演”(乘)及“分桃子”(除)中,正式引入两层竖式,凸显计数单位转换的必要性1

学段 内容 核心模型 认知目标
一年级 百以内数的认识 小棒捆扎 建立“十”为单位的聚合思想
二年级 表内除法(一层竖式) 实物等分 理解“除法是分实物”
三年级 两位数乘除 点子图+磁扣 实现“计数单位等分”的飞跃
Table 1.

1.2 教学困境与突破方向

学生常见错误如“31写作301”“减法从个位算起”[2],源于未理解位置决定量值的本质。北师大版以渐进式模型升级破解此难题:

实物模型(小棒)→半抽象模型(点子图、计数器)→符号模型(竖式)

关键转折点:从“捆小棒”到“大小磁扣”的学具替换,使计数单位转换可见(如1个十→10个一)

1.3 真实学情:前测数据揭示认知断层

对某校三年级120名学生进行前测[3]

问题1:用小棒表示“24” → 86%正确捆出2捆+4根;

问题2:“2捆小棒和2根小棒合起来是___?” → 仅34%答“22”,66%写作“4”(混淆数量与数值);

问题3:计算“42÷3” → 72%写单层竖式得14(未处理十位余数)[4]

结论:学生能操作实物,但未建立位置决定量值的抽象关联2。

2 理论支撑:北师大版教材的教学理念

2.1 几何直观与算理可视化

点子图在乘法中的核心作用:将12×4拆解为“2×4+10×4”,直观呈现部分积的叠加,沟通口算与竖式的联系;

磁扣在除法中的意义:42÷3中“余1个十换10个一”的操作,解释两层竖式的必要性。

2.2 算法多样化与迁移思想

鼓励多元策略(如14×12的三种点子图圈法),为乘法分配律埋下伏笔;

强调知识迁移:两位数乘→三位数乘(如“卫星运行时间”),本质均为“计数单位×倍数+叠加”。

3 教学实践:北师大版特色活动设计

3.1 活动一:计数器操作——动态感知位值

教材依据:三上“蚂蚁做操”乘法的竖式引入操作设计:

1在十位计数器拨“24”(十位2珠,个位4珠);

2思考:“十位一颗珠=个位十颗珠?为什么?”;

3动态演示:个位加6珠→满十进一,十位添珠。学术聚焦:

通过满十进一的动态过程,具象化“数位”的权重差异;

在十进制数系统中,“满十进一”是核心规则:当某一位(如个位)的值达到10时,就向左边的高位(如十位)进一,同时该位归零。这个过程动态地展示了不同“数位”(如个位、十位、百位)的权重差异:每个数位的权重是10的幂次,位置越高,权重越大(例如,个位权重是100=1100=1,十位权重是101=10101=10,百位权重是102=100102=100)[5]。权重差异意味着,同一个数字“1”在不同位置上代表的值不同(如十位的“1”表示10,而个位的“1”表示1)。

下面,我将通过一个动态的计数过程(从0开始逐步加1)来具象化这一过程。过程中,我会:

显示每一步的数字状态(包括每个数位的值和权重)。

当发生“满十进一”时,突出进位动作,强调权重的跳跃。

总结权重差异的本质3。

情境选择:分钱(元、角)或分小棒(捆、根)

钱币情境:163元8角平均分给4个人。

小棒情境:163根小棒(16捆和3根单根,每捆10根)平均分给4个小组。

目标:让学生清晰地体验当在“元”(或“捆”)这个单位上分不完时,剩下的“元”(“捆”)必须换成“角”(“根”),才能继续分下去。这个过程在竖式中体现为“落位”和“继续除”。

亲历过程步骤(以小棒情境为例):

呈现问题与实物

问题:把163根小棒平均分给4个小组,每个小组分得多少根?还剩多少根?

实物:准备16捆小棒(每捆10根)和3根单根小棒。明确1捆 = 10根。

第一次分:分整捆(十位上的分)

操作:让学生尝试把16捆小棒平均分给4个小组。

结果:

每个小组分到4捆。 (16 ÷ 4 = 4)

还剩下0捆? (16 ÷ 4正好分完,余0捆)

记录:在黑板或纸上记录下这次分的过程:分了16捆,每组4捆,共分掉4捆/组 * 4组 = 16捆,剩下0捆。

关键提问:“分完捆了,分完了吗?为什么?” (引导学生注意到还有3根单根小棒没分)

引入“换单位”的需求(理解余数的必然转换):

关键提问:

“剩下的这3根小棒,还能直接分给4个小组吗?为什么?” (不能,因为3 < 4,不够每组1根)

“有什么办法能让剩下的这些小棒也能继续分下去呢?” (引导学生思考“拆捆”)

“我们没有整捆剩下了,但还有单根剩下。单根还能拆吗?” (不能直接拆了)

核心冲突点:学生陷入困境。余下的3根无法直接分。

引导解决方案:“如果我们提前想到分整捆可能会剩下,我们是不是可以在分整捆时就做点准备?比如,当分整捆剩下不够分时,我们先把剩下的捆拆成单根,然后和原来的单根合在一起再分?

回顾步骤2:当我们分16捆时,假设它没有正好分完。例如,假设是15捆要分给4组。

操作 (模拟):分15捆。

每组分3捆 (15 ÷ 4 = 3...3)。

剩下3捆。

关键操作:把这3捆拆开!每捆拆成10根,得到3捆 * 10根/捆 = 30根。

合并:把这新拆出来的30根,和原来就有的3根单根合并:30根 + 3根 = 33根。

继续分:现在分这33根单根。

每组分8根 (33 ÷ 4 = 8...1)。

剩下1根。

总结果:每组分到3捆 + 8根 = 38根,剩下1根。

回到原始问题(163根),应用“换单位”思想:

分整捆 (16捆):

16 ÷ 4 =4(每组4捆)

余0捆。

记录:商4(表示4捆/组)。

分单根 (3根):

3 ÷ 4 =0(每组0根) ->不够分!

余3根。

记录:商0(表示0根/组),余3根。

发现问题 (再次):余3根没分完。但根据“换单位”思想,我们需要把余下的单位(这里是“根”)继续分,但不够分了。

关键调整:在分整捆时,虽然余数是0捆,但当我们看到下一步要分的单根只有3根(小于除数4)时,我们就知道在分整捆这一步,即使余数是0,我们也要提前为下一步做准备——把“0捆”看作“0个十”,并自然地与个位的3合并成“3”(即3个一)。但0捆拆开是0根,加上3根还是3根。3 ÷ 4 仍然不够商4。

竖式的自然体现:

分完十位(16 ÷ 4 = 4),余0。这个余数0通常省略不写。

“落位”:把个位上的数字“3”写下来(落下来)。这个过程本质上就是把十位分完后剩下的“0个十”忽略(因为它拆开也是0),然后把个位上的“3个一”拿过来准备分。它体现的正是“把剩下的东西(这里是0捆+3根)合并在一起,用更小的单位(根)继续分”的思想。

继续分落下来的“3”:3 ÷ 4 = 0 ... 3。

最终结果:商40(4捆=40根),余3根。或者商4(十位),商0(个位),余3。写成40余3更符合数值意义。

第二次分:分单根(个位上的分

操作:让学生把剩下的3根单根小棒平均分给4个小组。

结果:

每个小组分到0根?(不够分)(3 ÷ 4,不够分1根)

还剩下3根单根小棒。

记录:记录这次分的过程:分了3根,每组0根,剩下3根。

发现问题:学生很快发现:按照这个分法,每组只分到4捆(40根),剩下3根没分下去。但题目要求是平均分“根”,剩下3根没分完,说明分的过程不完整。“余数”3根还能分吗?怎么分?

通过“满十进一”的动态计数过程,我们具象化了数位的权重差异:

差异体现:低位(如个位)权重小,负责“精细”变化;高位(如百位)权重大,负责“宏观”变化。进位过程是权重差异的“放大器”——当低位饱和时,值转移到高位,突显了高位的更高权重5。

实际意义:这种权重差异是数字表示的基础,使有限符号(0-9)能表示任意大数。例如,数字“123”中,百位“1”贡献100,十位“2”贡献20,个位“3”贡献3,权重差异清晰。

这种动态过程类似于算盘(珠子满十进一)或货币系统(10个1元换1张10元),帮助直观理解数位权重的概念。

进位事件作为转折点:当低位满十时(如步骤10、20、100),数值“跳跃”到高位,这直观展示了高位的权重更大。例如:

从9到10:个位权重从9变为0,但新增十位权重10,总值增加1,但权重结构剧变。

从99到100:个位和十位归零,但百位权重100出现,突显高位的主导作用。

3.2 活动二:点子图拆分——理解乘法结构

教材依据:三下“列队表演”操作设计:

任务:14×12的点子图上圈出三种算法(图1);

横式关联:14×10=140,14×2=28,140+28=168;

竖式对接:个位积(14×2)、十位积(14×10)的区位意义。

表1:点子图圈法与算法对应关系

圈法 计算思路 数学思想
12行分10行+2行 14×10+14×2 乘法分配律雏形
12行分6行×2 (14×6)×2 乘法结合律铺垫
分4块(3×4布局) 10×10+10×4+4×10+4×2 多项式乘法萌芽
Table 2.

3.3 活动三:磁扣等分——解决除法竖式困惑

教材依据:三下“分桃子”除法竖式争议重构设计:

将“68÷2”调整为“42÷3”(首位不可整除);

学具替换:小棒→大磁扣(十位)、小磁扣(个位);

关键问题:余1个十怎么办?→ 兑换10个一再分,解释两层竖式记录的逻辑

4 学生认知发展典型表现(北师大版课堂实录)

4.1 进阶式理解

水平1(实物关联):“24是2捆棒+4根棒”;

水平2(单位转换):“十位多1颗珠,值翻10倍!”;

水平3(抽象概括):“除法竖式两层=先分大单位,余数换小单位”。

4.2 错误转化案例

原错误:48÷3写一层竖式得16;

操作后:用磁扣演示“余1个十换10个一,合12÷3=4”,接受分层记录。

5 教学建议:紧扣北师大版教材逻辑

5.1 起始课重迁移:

乘:从“整十数×一位数”(如20×4)切入,利用口诀降低试商难度;

除:选用“首位不可整除”(如42÷3)凸显计数单位转换必要性[6]

5.2 学具使用的科学时序

阶段 核心学具 功能定位 案例
初构概念 小棒+橡皮筋 建立“捆十”的聚合意识 一年级《生活中的数》
深化理解 十位计数器 动态感知位值权重 三上《蚂蚁做操》
突破难点 大小磁扣 实现计数单位自由转换 三下《分桃子》重构课
抽象巩固 点子图 沟通算法与算理 三下《队列表演》
Table 3.

6 结论:北师大版教材的学术价值

北师大版教材通过渐进式模型迭代与冲突性问题设计(如“除法为何从高位算起?”),推动学生从“具象分物”转向“计数单位操作”,实现位值制的意义建构。其特色在于:

1知识结构化:点子图、磁扣等工具贯穿乘除算理,形成认知闭环;

2思想渗透化:化归(乘→加法)、有序(竖式步骤)等思想提前浸润;

3素养长效化:为四年级“三位数乘除”“商不变规律”提供思维锚点。

北师大版教材通过结构化工具链(小棒→计数器→点子图→磁扣)和渐进式问题链,实现了两大突破

1从“分物”到“分计数单位”的思维质变;

2乘除算理的本质统一(均基于计数单位分解与叠加)。

这为发展学生的数感、推理意识及模型思想提供了坚实的学术支撑。

参考文献

[1]吴斯娴.从学生的需要出发用好“点子图”——“两位数乘两位数的笔算乘法”三次教学实践与反思[J].小学数学教育,2015,(17):59-60.

[2]章颖.依惑而教:从物的等分到计数单位的等分——“两位数除以一位数”笔算教学的思考与实践[J].教学月刊(小学版)(数学),2023(12):57-60

[3]北师大版小学数学教材三年级上/下册[M].北京师范大学出版社.

[4]赵颖.点子图教学的“困惑”与“解惑”[J].小学教学研究,2024(1):37-39.

[5]刘大钟,陈小燕,吴昭良.浅谈北师大版小学数学教材与人教版编排的异同[J].漫科学(科学教育),2024(1):119-121

参考

吴斯娴.从学生的需要出发用好“点子图”——“两位数乘两位数的笔算乘法”三次教学实践与反思[J].小学数学教育,2015,(17):59-60.

章颖.依惑而教:从物的等分到计数单位的等分——“两位数除以一位数”笔算教学的思考与实践[J].教学月刊(小学版)(数学),2023(12):57-60

北师大版小学数学教材三年级上/下册[M].北京师范大学出版社.

赵颖.点子图教学的“困惑”与“解惑”[J].小学教学研究,2024(1):37-39.

刘大钟,陈小燕,吴昭良.浅谈北师大版小学数学教材与人教版编排的异同[J].漫科学(科学教育),2024(1):119-121

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