柯西中值定理的多种推广形式

杜先云¹ 任秋道²

1成都信息工程大学数学学院，四川 成都 610225

2绵阳师范学院数理学院,四川 绵阳 621000

摘要：本文给出应用罗尔定理的一种构造法：设函数在上连续，在内可导，且，，则存在，，使得。 由此根据所证的表达式，构造原函数。 经过曲线上的二点可以作多种曲线，获得多种不同结论。 同时从函数的个数与导数的阶数推广了柯西定理：设一组在上的连续函数，在内可导数。若，，，则存在，使得。 若，，，则存在，使得，其中行列式，，，，，， 。

关键词：导数；连续；驻点

DOI：10.63887/tfet.2025.1.4.27

1 引入

在《数学分析》与《高等数学》中^[1][2]，微分中值定理是微分学的基本、重要定理，是较难、抽象的内容，常常需要利用构造法获得结论。为了让学生更好学习、理解这部分内容，本文利用罗尔定理获得一个构造法，由此推导微分中值定理，并且推广柯西中值定理^[3-5]。

定理1 设函数在上连续，在上可导，且，，则存在，，使得

(1)

证明 （构造法）设， 在上连续，在内可导数。 由题意可得

，

由罗尔定理可得，存在，，使得 即证毕。

定理1表明：两个可导函数形成的曲线，如果他们有二个不同的交点，那么他们差构成的函数，存在水平的切线，可能有极大（小）值，二条曲线经过二点的切线平行。经过二点作与曲线相交的直线：可以证明拉个朗日中值定理。

推论（柯西中值定理）设函数在上连续，在内可导，对于，，则

，

证明 由于，，利用拉格朗日中值定理，有

经过二点作函数： 即

，

由此可得

，

因此

(2)

函数在上连续，在上可导，满足定理1的条件，存在，，使得

由此可得结论 证毕。

2 柯西定理的推广形式

定理2 设一组在上的连续函数，，在内可导数，若，则存在，使得

(3)

证明构造函数：，满足条件：

，

由此可得

，

将代入所设表达式中。 满足定理1的条件，存在，，使得(3)式成立证毕。

推理 设一组在上的连续函数，，在内可导数，若，则存在，使得

定理3 设一组在上的连续函数，在内可导数，若，，，则存在，使得

(4)

证明 构造函数：，满足条件：

，

由此可得

，

将代入所设表达式中。 满足定理1的条件，存在，，使得(4)式成立 证毕。

定理4 设函数在上连续，在内阶可导，且，， 则存在，，使得

(5)

证明 在上连续，在上可导，且

，，

因而满足定理1的条件。 存在，，使得

， (6)

令，。 在上可导，利用(6)式，可得

，，

因而满足定理1的条件。 由此可得，存在，，使得

，即，

像这样利用一次定理1，函数的导数次数增加一次，利用次定理1可得，存在，，使得(5)式成立 证毕。

定理5 设一组在上的连续函数，，在内阶可导。若，，，则存在，使得

， (7)

其中行列式，，

，，，，

证明 作函数：满足

， (8)

根据《线性代数》中的克兰姆法则，当系数行列式时，线性方程组(8)有唯一解：

，。

由此可导，

。

根据(8)式，函数有个点的函数值相同，即 利用定理4，存在，，使得(7)式成立 证毕。

小结：定理1表明：有些导数问题可以根据所证的表达式，构造原函数，经过曲线上的二点可以作多种曲线，获得多种不同结论。 定理2、3推广了柯西定理中函数的个数，由两个函数推广到个函数；定理5推广了柯西定理中函数的个数，并且推广了导数的阶数，将一阶推广到阶数。 事实上个函数可以产生多种线性组合和非线性组合，获得多种微分中值公式。

参考文献

[1] 华东师范大学主编.数学分析[M]。北京:高等教育版社,2004.

[2] 杜先云主编.高等数学（第一版）[M]。成都:西南财经大学出版社,2024,08.

[3] 杜先云,任秋道.利用泰勒公式形式判断级数的敛散性[J].发展教育学（DEVELOPMENT PEDAGOGY），2024,12(5):303-307.

[4] 杜先云,任秋道.函数极限的保号性及有序性的应用[J].向导学术研究，2023,1(1):216-217.

[5] 杜先云,任秋道.阿贝尔判别法的推广[J].数理化解题研究,2022,(18):29-31.

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作者简介：杜先云（1964-），男，四川三台人，教授，E—mail: 。主要从事应用数学方面的研究。